Urodził się 13 września 1896 roku we Lwowie. Tam ukończył Galicyjskie Konserwatorium Muzyczne, gdzie kształcił się pod kierunkiem Villema Kurza i Stanisława Niewiadomskiego. W Krakowie na Uniwersytecie Jagiellońskim studiował muzykologię i prawo, z którego w 1922 roku uzyskał doktorat, a w Paryżu - kompozycję u Nadii Boulanger i instrumentację u Paula Dukasa. Przez większość życia był jednak związany z Poznaniem.
Do ważniejszych kompozycji Szeligowskiego należą: "Suita archaiczna" na orkiestrę, pieśń na chór "Regina coeli laetare", "Epitaphium na śmierć Karola Szymanowskiego" na orkiestrę smyczkową, kantata o sporcie "100 m" na głos solo, chór i orkiestrę, balet w trzech aktach "Mazepa" czy opera w dwóch aktach "Teodor Gentleman".
Tadeusz Szeligowski z wykształcenia był nie tylko muzykiem, ale też prawnikiem i do 31. roku życia pracował w Prokuratorii Generalnej w Wilnie. Z tamtego czasu pochodzą jego pierwsze próby kompozytorskie, które przedstawiał Karolowi Szymanowskiemu. To właśnie Szymanowski poradził mu, żeby porzucił karierę prawniczą i zajął się muzyką.
Od 1931 roku wykładał teorię i kompozycję w Poznańskim Konserwatorium Muzycznym. Lata wojny przetrwał w Wilnie. Po wojnie, w 1947 roku, doprowadził do otwarcia Państwowej Wyższej Szkoły Operowej w Poznaniu i stanął na jej czele. Został również pierwszym dyrektorem Państwowej Filharmonii w tym mieście (obecnie Filharmonia Poznańska im. Tadeusza Szeligowskiego). W latach następnych kierował katedrami kompozycji w Państwowej Wyższej Szkole Muzycznej w Warszawie i Poznaniu. W 1950 roku otrzymał tytuł profesora.
Tadeusz Szeligowski w 1960 roku był współtwórcą i pierwszym prezesem Towarzystwa Muzycznego im. Henryka Wieniawskiego w Poznaniu. W latach 50. sprawował funkcję prezesa Zarządu Głównego Związku Kompozytorów Polskich. Działał też w Radzie Programowej Polskiego Wydawnictwa Muzycznego. Zajmował się także publicystyką muzyczną. Pisał na łamach: "Kuriera Wileńskiego", "Tygodnika Wileńskiego"", "Muzyki" i "Kuriera Poznańskiego".
Laureat wielu konkursów kompozytorskich. Pośmiertnie, w 1963 roku, został uhonorowany Nagrodą Związku Kompozytorów Polskich za całokształt twórczości. Pośmiertnie przyznano mu też nagrodę Polskiego Radia i Telewizji za operę-oratorium radiowe "Odys płaczący i opuszczony" na głosy recytujące, chór i orkiestrę symfoniczną.
Tadeusz Szeligowski zmarł 10 stycznia 1963 roku w wieku 66 lat. Spoczął na poznańskim cmentarzu Górczyńskim. W 1965 jego trumnę przeniesiono do krypty Zasłużonych Wielkopolan w podziemiach kościoła św. Wojciecha w Poznaniu.